Question

已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（I）當a=2時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）f（x）在x=1處有極值，求f（x）的單調遞增區間；
（III）是否存在實數a，使f（x）在區間（0，e]的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）當a=2時，f（x）=2x-lnx，函數的定義域為（0，+∞）
求導函數可得：f′（x）=2-
∴f′（1）=1，f（1）=2
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（II）∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=0
∵f′（x）=a-
∴a-1=0，∴a=1
∴f′（x）=1-
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1
∵x＞0，∴x＞1
∴f（x）的單調遞增區間為（1，+∞）；
（III）假設存在實數a，使f（x）在區間（0，e]的最小值是3，
①當a≤0時，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區間（0，e]上單調遞減
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=（舍去）；
②當時，f（x）在區間（0，）上單調遞減，在（，e]上單調遞增
∴f（x）_min=f（）=1+lna=3，∴a=e³，滿足條件；
③當時，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在區間（0，e]上單調遞減
∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=（舍去），
綜上所述，存在實數a=，使f（x）在區間（0，e]的最小值是3．
分析：（I）當a=2時，f（x）=2x-lnx，函數的定義域為（0，+∞），求導函數，即可確定切點與切線的斜率，從而可得曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）利用f（x）在x=1處有極值，確定a的值，利用導數大于0，結合函數的定義域，即可得到f（x）的單調遞增區間；
（III）分類討論，確定函數f（x）在區間（0，e]上的單調性，從而可得函數的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值與單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．