Question

【題目】已知橢圓經過點，且與橢圓 有相同的焦點．

(1)求橢圓的標準方程；

(2）若動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線交于點，問：以線段為直徑的圓是否經過一定點？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點.

【解析】試題分析：（1）先求出橢圓的焦點為，則由題設有，從中解出可得橢圓的標準方程為．(2)因為動直線與橢圓相切，故聯立直線方程和橢圓方程后利用判別式為零得到和，又，設，則對任意的恒成立，但，因此，從而也就是點符合題意．

解析：（1）橢圓的焦點為，設橢圓的標準方程為，則解得所以橢圓的標準方程為．

（2）聯立消去，得， 所以，即．

設，則， ，即．

假設存在定點滿足題意，因為，則， ，所以，

恒成立，故解得 所以存在點符合題意．