Question

（1）已知sinx-cosx=

3

3

，求sin⁴x+cos⁴x的值；
（2）已知sinx+cosx=-

7

13

，0＜x＜π，求cosx+2sinx的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式兩邊平方，左邊利用完全平方公式展開后，利用同角三角函數間的基本關系求出sinxcosx的值，然后把所求的式子加上2sin²xcos²x，且減去2sin²xcos²x保持與原式相等，配方為完全平方式后，利用同角三角函數間的基本關系化簡，并把求出的sinxcosx的值代入即可求出值；
（2）把已知的等式兩邊平方，左邊利用完全平方公式展開后，利用同角三角函數間的基本關系求出2sinxcosx的值，然后利用完全平方公式把（sinx-cosx）²展開后，利用同角三角函數間的基本關系化簡，并把求出的2sinxcosx的值代入可求出（sinx-cosx）²的值，根據x的范圍及sinxcosx小于0，得出x為鈍角，故sinx-cosx大于0，開方可求出sinx-cosx的值，與已知的等式聯立即可求出sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入所求的式子即可求出值．

解答：解：（1）由已知sinx-cosx=

3

3

，
兩邊平方得1-2sinxcosx=

1

3

，sinxcosx=

1

3

，（2分）．
sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x=1-

2

9

=

7

9

；（5分）

（2）因為sinx+cosx=-

7

13

，①
兩邊平方得1+2sinxcosx=

49

169

，2sinxcosx=-

120

169

＜0，（7分）
所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=

289

169

，（9分）
由0＜x＜π，sinxcosx＜0，得到

π

2

＜x＜π，
于是sinx＞0，cosx＜0，sinx-cosx=

17

13

，②（11分）
由①②得sinx=

5

13

，cosx=-

12

13

，（13分）
所以cosx+2sinx=-

12

13

+

10

13

=-

2

13

．（14分）

點評：此題考查了同角三角函數間基本關系的應用，以及整體代入思想的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．