Question

（1）已知sinx+cosx=-

1

5

（0＜x＜π），求tanx的值；
（2）已知角α終邊上一點P（-4，3），求

cos( π 2 +α)tan(π+α)sin(-π-α)

cos( 11π 2 -α)sin( 9π 2 +α)

的值．

Answer 1

分析：（1）由sinx+cosx的值小于0，得到cosx小于0，sinx大于0，確定出sinx-cosx的值大于0，將已知等式左右兩邊平方求出2sinxcosx的值，再利用同角三角函數間的基本關系及完全平方公式求出sinx-cosx的值，與sinx+cosx的值聯立求出sinx與cosx的值，即可確定出tanx的值；
（2）所求式子利用誘導公式化簡，再利用同角三角函數間的基本關系得到最簡結果，由α終邊上點的坐標求出sinα，cosα及tanα的值，代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵sinx+cosx=-

1

5

①＜0，
∴sinx＞0，cosx＜0，即sinx-cosx＞0，
將①兩邊平方得：（sinx+cosx）²=

1

25

，即1+2sinxcosx=

1

25

，
∴2sinxcosx=-

24

25

，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

49

25

，
∴sinx-cosx=

7

5

②，
聯立①②解得：sinx=

3

5

，cosx=-

4

5

，
則tanx=-

3

4

；
（2）∵角α終邊上一點P（-4，3），
∴sinα=

3

5

，cosα=-

4

5

，
∴tanα=-

3

4

，
則

cos( π 2 +α)tan(π+α)sin(-π-α)

cos( 11π 2 -α)sin( 9π 2 +α)

=

-sinαtanαsinα

-sinαcosα

=tan²α=

9

16

．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，誘導公式的作用，以及任意角的三角函數定義，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．