Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+c（b，c為常數）．
（1）若f（x）在x=1和x=3處取得最值，求b，c的值；
（2）若f（x）在x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上單調遞增，且在上單調遞減，又滿足x₂-x₁＞1，求證：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的條件下，若t＜x₁，比較t²+bt+c和x₁的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數，故x=1和x=3是導函數的零點從而得到答案．
（2）根據導函數大于0時原函數單調增，導函數小于0時原函數單調遞減代入可得答案．
（3）根據x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0兩根，所以可得x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），然后整理放縮可得答案．

解答：解：（1）f'（x）=x²+（b-1）x+c，由題意知1、3是方程x²+（b-1）x+c=0兩根，∴

-(b-1)=1+3 c=1×3

，
∴b=-3，c=3
（2）由題意知，當x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）時，f'（x）＞0；
當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，
∴x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0兩根，x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c，
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1-（x+x）²]-2[1-（x₁+x₂）]-4x₁x₂=（x+x）²-1，
∵x₁-x₂＞1，∴（x+x）²-1＞0，
∴b²＞2（b+2c）．
（3）在（2）下，由上題知x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），即x²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t+1-x₂）．
∵x₂＞1+x₁＞1+t，
∴1+t-x₂＜0．
∵0＜t＜x₁，∴t-x₁＜0，
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＜0，
∴t²+bt+c＞x₁．

點評：本題主要考查導函數的正負和原函數的增減性的關系．屬難題．