Question

已知，曲線上任意一點分別與點、連線的斜率的乘積為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設直線與軸、軸分別交于、兩點，若曲線與直線沒有公共點，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），．

（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒有公共點，，得到，利用，，及均值定理確定

，

從而證得．    

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設曲線上任意一點的坐標為．利用依題意點分別與點、連線的斜率的乘積為，轉化成代數式，整理可得．

（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒有公共點，，得到，利用，，及均值定理確定

，

從而證得．    

試題解析：（Ⅰ）設曲線上任意一點的坐標為．

依題意，且，      ３分

整理得．所以，曲線的方程為：，．   5分

（Ⅱ）由得，

，                  7分

由已知條件可知，，所以

，

從而，　　　即．                           13分

考點：1、求軌跡方程，2、直線與橢圓的位置關系，3、均值定理的應用.