Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點為,離心率為.

（1）求的標準方程；

（2）若動點為外一點,且到的兩條切線相互垂直,求的軌跡的方程；

（3）設的另一個焦點為,過上一點的切線與（2）所求軌跡交于點,,求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用題中條件求出的值,然后根據離心率求出的值,最后根據三者的關系求出的值,從而確定橢圓C的標準方程；

（2）設,切點分別為,,當時,設切線方程為,與橢圓聯立消去,得,根據根的判別式,化簡得,又因為在橢圓外, .又因為,所以,即,化簡為,

整理即可得的軌跡方程.

（3）設,先求.方法一：由相交弦定理,得.

方法二：切線的參數方程,將代入圓,因為點在圓內,整理可得.再利用公式求,所以證得.

（1）解：設,

由題設,得,,所以,,

所以的標準方程為.

（2）解：如圖,設,切點分別為,,

當時,設切線方程為,

聯立方程,得,

消去,得,①

關于的方程①的判別式,

化簡,得,②

關于的方程②的判別式,

因為在橢圓外,

所以,即,所以.

關于的方程②有兩個實根,分別是切線,的斜率,

因為,所以,即,化簡為,

當時,可得,滿足,

所以的軌跡方程為.

（3）證明：如圖,設,先求.

方法一：由相交弦定理,得

.

方法二：切線的參數方程為（為參數）,

,

代入圓,整理得,

因為點在圓內,

所以上述方程必有兩個不等實根,,,且,

所以,

當時,,仍有.

再求.

,

因為點在橢圓上,所以,即,

所以,

所以.