Question

已知函數f(x)=lnx-

1

2

ax2(a∈R，a≠0)．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）已知點A(1，-

1

2

a)，設B(x1，y1)(x1＞1)是曲線C：y=f(x)圖角上的點，曲線C上是否存在點M（x₀，y₀）滿足：①x0=

1+x1

2

；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）f（x）的定義域是（0，+∞），對f（x）進行求導，利用導數研究函數f（x）的單調區間；
（II）假設存在滿足條件的點M，根據A在曲線C上，求出直線AB的斜率，根據導數與斜率的關系K_AB=f′（x₀），對其進行化簡，從而進行判斷；

解答：解：（I）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax=

1-ax2

x

，
①當a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
當a＞0時，由f′（x）＞0和x＞0得0＜x＜

a

a

f（x）在（0，

a

a

）內單調遞增，
由f′（x）＜0和x＞0得x＞

a

a

，f（x）在（

a

a

，+∞）內單調遞減，
綜上所述：當a＞0時，f（x）的單調增區間是（0，

a

a

），單調遞減區間是（

a

a

，+∞）；
（II）假設存在滿足條件的點M，
∵A在曲線C上，∴K_AB=

y1+ 1 2 a

x1-1

=

lnx1- 1 2 ax 2 1 + 1 2 a

x1-1

，
f′（x）=

1

x

-ax，
∴f′（x₀）=f′（

x1+1

2

）=

2

x1+1

-a•

x1+1

2

，由已知K_AB=f′（x₀），
∴

lnx1- 1 2 ax 2 1 + 1 2 a

x1-a

=

2

x1+1

-a•

x1+1

2

，
化簡整理可得lnx₁=

2(x1-1)

x1+1

=2-

4

x1+1

，
即lnx₁+

4

x1+1

＞2
∴lnx₁+

4

x1+1

＞2
∴lnx₁=2-

4

x1+1

不成立，即滿足條件的點M是不存在的；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，以及導數與斜率的關系，第二問是存在性問題，難度有些大，此題是一道中檔題；