Question

某種電子玩具按下按健后，會出現紅球和綠球．已知按鍵第一按下后，出現紅球和綠球的概率都是

1

2

，從按鍵第二按下起，若前次出現紅球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別是

1

3

、

2

3

；若前次出現綠球，則下一次出現紅球、綠球的概率分別是

3

5

、

2

5

．記第n（n∈N*）次按下按鍵后出現紅球的概率為p_n．
（1）求p₂；
（2）n≥2時，求p_n．

Answer 1

分析：（1）根據題意，p₂即第2次按下按鍵后出現紅球的概率，分析可得，其包括第一次出現紅球與綠球2種情況，由互斥事件概率的加法公式，計算可得答案；
（2）分析題意，可得n≥2時，pn=

1

3

pn-1+

3

5

(1-pn)=

3

5

-

4

15

pn-1，類比數列的性質，可以構造等比數列{pn-

9

19

}，求出其通項公式，進而可得答案．

解答：解：（1）根據題意，p₂即第2次按下按鍵后出現紅球的概率，
其包括第一次出現紅球與綠球2種情況；
則p2=

1

2

×

1

3

+

1

2

×

3

5

=

7

15

．
（2）依題意，n≥2時，pn=

1

3

pn-1+

3

5

(1-pn)=

3

5

-

4

15

pn-1，
設常數λ∈R，使pn-λ=-

4

15

(pn-1-λ)，即pn=

19

15

λ-

4

15

pn-1，解

19

15

λ=

3

5

得λ=

9

19

，
所以{pn-

9

19

}是首項為p1-

9

19

=

1

38

，公比為-

4

15

的等比數列，
所以pn-

9

19

=

1

38

×(-

4

15

)n-1，
解得pn=

1

38

[18+(-

4

15

)n-1]．

點評：（2）有一定難度，要求學生將題中文字語言轉化為符號語言，建立遞推關系，通過適當“平移”將一次遞推關系轉化為等比關系，依據等比數列基本性質求解．