Question

【題目】已知函數f（x）=tx，（x∈R）．
（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求點（a，b）的集合表示的平面區域的面積；
（2）若t=2+ ，（x＜1且x≠0），求函數f（x）的最大值；
（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集為[﹣1，5]，求b，c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=ax+b時，f（x）=ax2+bx，

由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，

可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，

由兩平行直線x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距離為 ，

兩平行直線x+y=2和x+y=4的距離為 ，

可得點（a，b）的集合表示的平面區域（矩形）的面積為 × =3

（2）解：若t=2+ ，（x＜1且x≠0），

則f（x）=2x+ （x＜1且x≠0），

由2x+ =[2（x﹣1）+ ]+2=﹣[2（1﹣x）+ ]+2

≤﹣2 +2=2﹣2 ，

當且僅當2（1﹣x）= ，即x=1﹣ 時，等號成立，

則函數的最大值為2﹣2

（3）解：若t=x﹣a﹣3（a∈R），則f（x）=x2﹣（a+3）x，

f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集為[﹣1，5]，

即x2﹣（a+3）x﹣（a+4）≤0的解集為[﹣1，5]，

即﹣1，5為方程x2﹣（a+3）x﹣（a+4）=0的兩根，

可得﹣1+5=a+3，﹣1×5=﹣（a+4），

解得a=1；

再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集為[﹣1，5]，

可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，

而f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的最小值為﹣4，

則b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4，

即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0，

記g（c）=c2﹣bc+b2﹣3b+3，

則△=b2﹣4（b2﹣3b+3）≥0，

即﹣3（b﹣2）2≥0，但﹣3（b﹣2）2≤0，

則b=2；

即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0，

即c2﹣2c+1≤0，即（c﹣1）2≤0，

但（c﹣1）2≥0，

即c=1

【解析】（1）由題意可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，運用點（a，b）的集合表示的平面區域為矩形，由平行直線間的距離公式，即可得到所求面積；（2）運用基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，即可得到所求最大值；（3）運用二次不等式的解集，可得對應方程的解，運用韋達定理可得a=1，再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，結合判別式非負，可得b=2，進而得到c的不等式，求得c=1．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能得出正確答案．