Question

（2012•湖南模擬）設向量

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，定義一種向量積

a

?

b

=(a1b1，a2b2)，已知

m

=(2，

1

2

)，

n

=(

π

3

，0)，點P（x，y）在y=sinx的圖象上運動．Q是函數y=f（x）圖象上的點，且滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O為坐標原點），函數y=f（x）的值域是

[-

1

2

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：先設出點P、Q的坐標，根據

OQ

=

m

?

OP

+

n

，得到P、Q的坐標之間的關系，從而寫出函數f（x）的解析式，得到答案．

解答：解：設P（x₀，y₀），Q（x，f（x）），則由已知得（x，f（x））=（2x₀+

π

3

，

1

2

y0），
即x=2x₀+

π

3

，∴x₀=

1

2

x-

π

6

，f（x）=

1

2

y₀ ，∴y₀=2f（x）．
又y₀=sinx₀，∴2f（x）=sin（

1

2

x-

π

6

），故f（x）=

1

2

sin（

1

2

x-

π

6

）．
∴（f（x））_max=

1

2

，（f（x））_min=-

1

2

，
故函數y=f（x）的值域是 [-

1

2

，

1

2

]，
故答案為 [-

1

2

，

1

2

]．

點評：本題主要考查三角函數的最值和最小正周期的求法．這個題要先從條件中抽象出函數的解析式來，再解題，屬于中檔題．