Question

【題目】已知函數f（x）= ，直線y= x（a≠0）為曲線y=f（x）的一條切線．
（1）求實數a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數g（x）=min{f（x），x﹣ }（x＞0），若函數h（x）=g（x）﹣bx2為增函數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設切點坐標為（x0，y0），f′（x）= ，則 ，∴a=1；
（2）解：記F（x）=f（x）﹣（x﹣ ），x＞0．下面考察y=F（x）的符號．

求導F′（x）= ﹣1﹣ ，

x≥2，F′（x）＜0，0＜x＜2，x（2﹣x）≤1，∴F′（x）= ﹣1﹣ ≤﹣ ＜0，

∴F（x）在（0，+∞）上單調遞減，

∵F（1）= ＞0，F（2）= ﹣ ＜0，

∴F（x）在[1，2]上有唯一零點x0，

∴g（x）= ，

∴h（x）=g（x）﹣bx2= ，

x＞x0，h′（x）= ﹣2bx≥0恒成立，∴2b≤ ，

設u（x）= ，u′（x）= ，函數在（x0，3）上單調遞減，（3，+∞）上單調遞增，

∴u（x）min=﹣ ，∴2b≤﹣ ，∴b≤﹣ ；

0＜x≤x0時，h′（x）=1+ ﹣2bx，b≤0，h′（x）＞0在（0，x0）上恒成立，

綜上所述，b≤﹣ 時，函數h（x）=g（x）﹣bx2為增函數．

【解析】（1）根據直線y= x（a≠0）為曲線y=f（x）的一條切線，求實數a的值；（2）記F（x）=f（x）﹣（x﹣ ），x＞0．考察y=F（x）的符號，得出g（x）= ，再分類討論，利用導數的正負，即可得出結論．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．