Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)。

（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PD與CD所成角的大小；
（3）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）在△PAD中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD 又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD。
（2）連結(jié)BO， 在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC 有OD∥BC且OD=BC 所以四邊形OBCD是平行四邊形， 所以O(shè)B∥DC 由（1）知，PO⊥OB，∠PBO為銳角， 所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角 因?yàn)锳D=2AB=2BC=2 在Rt△AOB中，AB=1，AO=1 所以O(shè)B= 在Rt△POA中，因?yàn)锳P=，AO=1，所以O(shè)P=1， 在Rt△PBO中，tan∠PBO= 所以異面直線PB與CD所成的角是。
（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為 設(shè)，則 由（2）得CD=OB= 在Rt△POC中， 所以PC=CD=DP， 由VP-DQC=VQ-PCD，得x=3/2 所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí)。