Question

如圖：已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為4的正方形，高AA₁=4，P為CC₁的中點，AC、BD交于O
（I）求證：BD⊥面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求證：BD⊥OP；
（Ⅲ）求三棱錐P-A₁DB的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據線面垂直的判定定理，要證BD⊥面A₁ACC₁，只證BD⊥AC，BD⊥AA₁即可；
（2）由（1），利用線面垂直的性質可證BD⊥OP；
（3）以△BDP為底，點A₁到面BDP的距離為高，根據錐體體積公式可求，其中點A₁到面BDP的距離可建立坐標系用向量求得；
解答：解：（1）證明：在長方體AC₁中，∵底面ABCD是邊長為4的正方形，∴對角線BD⊥AC．
又∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
AC∩A₁A=A，AC?面A₁ACC₁，A₁A?面A₁ACC₁；
∴BD⊥面A₁ACC₁．
（2）由（1）知，BD⊥面A₁ACC₁，且OP?面A₁ACC₁．
∴BD⊥OP．
（3）分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B（4，4，0），A₁（4，0，4），P（0，4，2），
=（0，-4，4），=（0，4，2），=（4，4，0），
設=（x，y，z）為平面DBP的一個法向量，
則，即，取=（1，-1，），
點A₁到平面平面DBP的距離d=||×|cos＜，＞|=||×||==6，
BD=4，OP===4，
則S_△BDP=×BD×OP=×4×4=8，
所以三棱錐P-A₁DB的體積V=×S_△BDP×d=×8×6=16．
點評：本題考查線面垂直的判定、線面垂直的性質及錐體的體積求解，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，屬中檔題．