Question

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點為圓心作圓：，設圓與橢圓交于點與點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓的方程；
（3）設點是橢圓上異于,的任意一點，且直線分別與軸交于點，為坐標原點，
求證：為定值．

Answer 1

（1）；（2），；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：（1）先通過離心率求出，再通過，然后寫出橢圓方程；（2）先設出點的坐標，由于點在橢圓上，所以，找到向量坐標，根據點乘列出表達式，配方法找到表達式的最小值，得到點坐標，點在圓上，代入得到圓的半徑，就可以得到圓的方程；（3）設出點的坐標，列出直線的方程，因為直線與軸有交點，所以令，得到，所以，又因為點在橢圓上，得到方程，代入中，得到，所以.
試題解析：（1）依題意，得，，∴；
故橢圓的方程為 ．        3分
（2）方法一：點與點關于軸對稱，設，， 不妨設．
由于點在橢圓上，所以．    （*）         4分
由已知，則，，
所以 
．   6分
由于，故當時，取得最小值為．
由（*）式，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．
故圓的方程為：．             8分
方法二：點與點關于軸對稱，故設，
不妨設，由已知，則
 

．  6分
故當時，取得最小值為，此時，
又點在圓上，代入圓的方程得到．
故圓的方程為：．      8分
(3) 方法一：設，則直線的方程為：