Question

【題目】已知函數f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移m個單位，使所得函數為偶函數，求m的最小正值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2cosxsin（x+ ）﹣ sin2x+sinxcosx

=2cosx（sinxcos +cosxsin ）﹣ sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+ cos2x﹣ sin2x

=sin2x+ cos2x

=2sin（2x+ ）；

令2x+ ∈[ +2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[ +kπ， +kπ]，k∈Z，

即函數f（x）的單調遞減區間為[ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：將函數f（x）的圖象向右平移m個單位，

可得函數g（x）=2sin（2x﹣2m+ ）的圖象

∵函數為偶函數，

故﹣2m+ = +kπ，k∈Z，

當k=﹣1時，m取最小正值

【解析】先利用和角公式，倍角公式，將函數f（x）化為正弦型函數的形式；（1）令2x+ ∈[ +2kπ， +2kπ]，k∈Z，可得函數f（x）的單調遞減區間；（2）將函數f（x）的圖象向右平移m個單位，使所得函數為偶函數，則﹣2m+ = +kπ，k∈Z，進而得到答案．
【考點精析】掌握復合函數單調性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．