Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在區(qū)間（﹣1，3﹣a）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣ ， ）
【解析】解：當(dāng)x≥2a時(shí)，f（x）=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a ， 此時(shí)為增函數(shù)，
當(dāng)x＜2a時(shí)，f（x）=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a ， 此時(shí)為減函數(shù)，
即當(dāng)x=2a時(shí)，函數(shù)取得最小值0，
設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)為M（x1 ， f（x1）），N（（x2 ， f（x2）），
由圖象知，當(dāng)兩個(gè)切線垂直時(shí)，必有，x1＜2a＜x2 ，
即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣ ＜a＜1，
∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=ex1（﹣ex2）=﹣ex1+x2=﹣1，
則ex1+x2=1，即x1+x2=0，
∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，
∴2a＜1，解得a＜ ，
綜上﹣ ＜a＜ ，
所以答案是：（﹣ ， ）．