Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）當時，方程有實數根.

【解析】試題分析：（1）函數求導，從而得單調區間；

（2）方程有實數根，即函數存在零點，分類討論函數的單調性，從而得有零點時參數的范圍.

試題解析：

（1）依題意，得 ，.

令，即.

解得；

令，即.

解得.

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由題得， .

依題意，方程有實數根，

即函數存在零點.

又.

令，得.

當時，.

即函數在區間上單調遞減，

而， .

所以函數存在零點；

當時，，隨的變化情況如下表：

所以為函數的極小值，也是最小值.

當，即時，函數沒有零點；

當，即時，注意到，

，

所以函數存在零點.

綜上所述，當時，方程有實數根.