Question

已知函數（）.
（1）當時，求的圖象在處的切線方程；
（2）若函數在上有兩個零點，求實數的取值范圍；
（3）若函數的圖象與軸有兩個不同的交點，且，求證：（其中是的導函數）．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：解題思路：（1）利用導數的幾何意義求解即可；（2）利用該區間上的極值的正負判斷函數零點的個數；（3）通過構造函數求最值進行證明.規律總結：利用導數研究函數的性質是常見題型，主要是通過導數研究函數的單調性、求單調區間、求極值、最值以及不等式恒成立等問題，往往計算量較大，思維量大，要求學生有較高的邏輯推理能力.
試題解析：（1）當時，，，切點坐標為，
切線的斜率，則切線方程為，即.
（2），則，
因，故時，.當時，；當時，.
所以在處取得極大值.
又，，，則，
在上有兩個零點，則
解得，即實數的取值范圍是.
（3）因為的圖象與軸交于兩個不同的點，
所以方程的兩個根為，則兩式相減得.又，，則.
下證（*），即證明，，
因為，∴，即證明在上恒成立.
所以，又，∴，
所以在上是增函數，則，從而知，
故（*）式成立，即成立.