Question

【題目】已知函數f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0， ]，m∈R．
（1）設t=sinx+cosx，x∈[0， ]，將f（x）表示為關于t的函數關系式g（t），并求出t的取值范圍；
（2）若關于x的不等式f（x）≥0對所有的x∈[0， ]恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為t=sinx+cosx= ，x∈[0， ]，所以t∈[1， ]，sinxcosx= ．

所以g（t）=mt﹣4 =﹣2t2+mt+2．

（2）解：因為關于x的不等式f（x）≥0對所有的x∈[0， ]恒成立，

據（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0對所有的t∈[1， ]恒成立，

所以 ，得m≥ ．所以實數m的取值范圍是[ ，+∞）．

（3）解：因為關于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有實數解，

據（1）可知關于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有實數解，

即關于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， ]上有實數解，

所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．

令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，開口向上，對稱軸t= ，

①當m≥12時，對稱軸t≥3，函數h（t）在t∈[1， ]上單調遞減，

故 ，解得m不存在．

②當m≤4時，對稱軸t≤1，函數h（t）在t∈[1， ]上單調遞增，

故 ，解得2+ ≤m≤4．

綜上所述，實數m的取值范圍是[2+ ，4]．

【解析】（1）利用輔助角公式，結合同角三角函數關系，即可得出結論；（2）據（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0對所有的t∈[1， ]恒成立，所以 ，即可求出實數m的取值范圍；（3）據（1）可知關于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有實數解，即關于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， ]上有實數解，分類討論，求出實數m的取值范圍．