Question

【題目】已知函數f（x）=4sin2（ + ）sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．
（1）化簡f（x）；
（2）常數ω＞0，若函數y=f（ωx）在區間 上是增函數，求ω的取值范圍；
（3）若函數g（x）= 在 的最大值為2，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2[1﹣cos（ +x）]sinx+cos2x﹣sin2x﹣1=（2+2sinx）sinx+1﹣2sin2x﹣1=2sinx．
（2）解：∵f（ωx）=2sinωx，由 ≤ωx≤ ，解得﹣ + ≤x≤ + ，

∴f（ωx）的遞增區間為[﹣ + ， + ]，k∈Z．∵f（ωx）在[﹣ ， ]上是增函數，

∴當k=0時，有 ，∴ ，解得 ，

∴ω的取值范圍是（0， ]．

（3）解：g（x）=sin2x+asinx﹣acosx﹣ a﹣1，令sinx﹣cosx=t，則sin2x=1﹣t2，

∴y=1﹣t2+at﹣ a﹣1=﹣（t﹣ ）2+ ﹣ ，∵t=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），

∵x∈[﹣ ， ]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，∴ ．

①當 ＜﹣ ，即a＜﹣2 時，ymax=﹣（ ﹣ ）2+ ﹣ =﹣ a﹣ ﹣2．

令﹣ a﹣ ﹣2=2，解得a=﹣ （舍）．

②當﹣ ≤ ≤1，即﹣2 ≤a≤2時，ymax= ﹣ ，令 ，解得a=﹣2或a=4（舍）．

③當 ，即a＞2時，在t=1處 ，由 得a=6．

因此，a=﹣2或a=6．

【解析】（1）使用降次公式和誘導公式化簡4sin2（ + ），使用平方差公式和二倍角公式化簡（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）；（2）求出f（ωx）的包含0的增區間U，令[﹣ ， ]U，列出不等式組解出ω；（3）求出g（x）解析式，判斷g（x）的最大值，列方程解出a．