Question

（本題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱,,底面為直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O為AD中點.

(1)求直線與平面所成角的余弦值;

(2)求點到平面的距離

(3)線段上是否存在點,使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 (1) ；（2）；（3）存在，且。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線面角的求解，二面角的問題，以及點到面的距離。

（1）先確定出平面的垂線，然后利用已知的關系式來得到線面角的表示，進而求解。

(2)利用等體積法得到點到面的距離。

(3)建立空間直角坐標系，進而表示平面的法向量，利用向量與向量的夾角，得到二面角的平面角。

解:(1) 在△PAD中PA=PD, O為AD中點，所以PO⊥AD,

又側面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

又在直角梯形中,易得;所以以為坐標原點,為軸,為

軸,為軸建立空間直角坐標系.

則,,，;

,易證:,所以平面的法向量,

所以與平面所成角的余弦值為；        ……………………………….4分

（2），設平面PDC的法向量為，

則，取得

點到平面的距離……………….8分

（3）假設存在，則設，

因為，，

所以，

設平面的法向量為，則

取，得

平面的有一個法向量為

因為二面角的余弦值為，所以

得到得或(舍)

所以存在，且                            ………………… 13分