Question

（本題滿分13分）如圖所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′—EC—B是直二面角.

（1）證明：BE⊥C D′；

（2）求二面角D′—BC—E的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；      （2）

【解析】解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知, ∠BEC=90°，即BE⊥EC.

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC,

∴BE⊥面D′EC，又C D′Ì 面D′EC ,  ∴BE⊥CD′；

（2）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC.

∵平面D′EC⊥平面BEC,

∴D′M⊥平面EBC,

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得：

D′F⊥BC

∴∠D′FM是二面D′—BC—E的平面角.

在Rt△D′MF中，D′M=EC=，MF=AB=

∴

即二面角D′—BC—E的正切值為.

法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系.

則B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，）

設平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

Þ tan= ∴二面角D′—BC—E的正切值為.