Question

已知函數．
（1）若為的極值點，求實數的值；
（2）當時，方程有實根，求實數的最大值。

Answer 1

(1) (2) 當時，取得最大值0．

試題分析：（1）． 1分
因為為的極值點，所以． 2分
即，解得．     3分
又當時，，從而的極值點成立． 4分
（2）若時，方程可化為，．
問題轉化為在上有解，
即求函數的值域．             7分
以下給出兩種求函數值域的方法：
方法1：因為，令，
則   ，             9分
所以當，從而上為增函數，
當，從而上為減函數，            10分
因此．
而，故，
因此當時，取得最大值0．           12分
方法2：因為，所以．
設，則．
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減；
因為，故必有，又，
因此必存在實數使得，
，所以上單調遞減；
當，所以上單調遞增；
當上單調遞減；
又因為，
當，則，又．
因此當時，取得最大值0．  12分
點評：主要是考查了運用導數來判定函數單調性以及函數的 極值問題，通過利用函數的單調性放縮法來證明不等式，進而得到最值，屬于中檔題。