Question

已知數列｛a_n｝滿足條件：a₁=1，a₂=r（r＞0）且｛a_n·a_n+1｝是公比為q（q＞0）的等比數列，設b_n=a_2n－1+a_2n（n=1，2，…）

（Ⅰ）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+2（n∈N^*）成立的q的取值范圍；

（Ⅱ）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；

（Ⅲ）設r=2^19．2－1，q=，求數列｛｝的最大項和最小項的值.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由題意得rqn－1+rqn＞rqn+1 由題設r＞0，q＞0，故上式q2－q－1＜0 所以， 由于q＞0，故0＜q＜ （Ⅱ）因為 所以=q≠0 b1=1+r≠0，所以｛bn｝是首項為1+r，公比為q的等比數列， 從而bn=（1+r）qn－1 當q=1時，Sn=n（1+r） 當0＜q＜1時，Sn= 當q＞1時，Sn= 綜上所述  （Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=（1+r）qn－1 從上式可知當n－20.2＞0時n≥21（n∈N）時，cn隨n的增大而減小，故 1＜cn＜c21=1+=2.25               ① 當n－20.2＜0，即n≤20（n∈N）時，cn也隨著n的增大而減小，故 1＞cn＞c20=1+              ② 綜合①、②兩式知對任意的自然數n有c20≤cn≤c21 故｛cn｝的最大項c21=2.25，最小項c20＝－4．