設函數f(x)＝x|x－a|＋b，求證：f(x)為奇函數的充要條件是a2＋b2＝0.
證明見試題解析.
【解析】
試題分析：充要條件的證明要分別證明充分性和必要性，
.本題充分性是由
證明
為奇函數，必要性是由為奇函數證明.
試題解析：證明充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0， 2
∴f(x)＝x|x| 3
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|， 4
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數 6
必要性：若f(x)為奇函數，則對一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立 7
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立 8
令x＝0，則b＝－b，∴b＝0， 10
令x＝a，則2a|a|＝0，∴a＝0 11
即a2＋b2＝0 12
考點：充要條件
優學名師名題系列答案科目：高中數學 來源：2002年全國各省市高考模擬試題匯編 題型：044
設函數f(x)＝
(x－1)(a＞0，且a≠1)，當點P(x，y)是函數y＝f(x)圖象上的點時，點Q(3x，
)是函數y＝g(x)圖象上的點．
(Ⅰ)寫出函數y＝g(x)的解析式；
(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集．
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科目：高中數學 來源：廣州市2008屆高中教材變式題2：二次函數 題型：022
設函數f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列4個命題：
①當c＝0時，y＝f(x)是奇函數；
②當b＝0，c＞0時，方程f(x)＝0只有一個實根；
③y＝f(x)的圖象關于點(0，c)對稱；
④方程f(x)＝0至多有兩個實根．
上述命題中正確的序號為________．
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科目：高中數學 來源：天津市耀華中學2012屆高三寒假驗收考試數學理科試題 題型：013
設函數f(x)＝x|x|＋bx＋c，則下列命題中正確命題的序號有
①當b＞0時，函數f(x)在R上是單調增函數；
②當b＜0時，函數f(x)在R上有最小值；
③函數f(x)的圖象關于(0，c)對稱；
④方程f(x)＝0可能有三個實數根．
A．①③
B．①④
C．①②④
D．①③④
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科目：高中數學 來源：廣東省云浮羅定中學2012屆高三11月月考數學理科試題 題型：044
已知二次函數y＝g(x)的圖象經過點O(0，0)、A(m，0)與點P(m＋1，m＋1)，設函數f(x)＝(x－n)g(x)在x＝a和x＝b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．
(1)求g(x)的二次項系數k的值；
(2)比較a，b，m，n的大小(要求按從小到大排列)；
(3)若m＋n≤2
，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y＝f(x)均相切，求y＝f(x)．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年寧夏高三第五次月考理科數學試卷（解析版） 題型：填空題
設函數f(x)＝
，D是由x軸和曲線y＝f(x)及該曲線在點(1,0)處的切線所圍成的封閉區域，則z＝x－2y在D上的最大值為________．
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