Question

已知函數.
（1）求的值域G；
（2）若對于G內的所有實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(t)=log₂t在t∈[,8]上是單調遞增的，∴log₂≤log₂t≤log₂8.
即≤f(t)≤3.∴f(t)的值域G為[].   -------4   分
(Ⅱ)由題知－x²+2mx－m²+2m≤1在x∈[]上恒成立－2mx+m²－2m+1≥0在x∈[]上恒成立.-----6分
令g(x)=x²－2mx+m²－2m+1,x∈[].只需g_min(x)≥0即可.
而g(x)=(x－m)²－2m+1,x∈[].
(1)當m≤時，g_min(x)=g()=－3m+m²+1≥0.∴4m²－12m+5≥0.解得m≥或m≤
.∴m≤  
(2)當＜m＜3時，g_min(x)=g(m)= －2m+1≥0.解得m≤這與＜m＜3矛盾.----10 
(3)當m≥3時，g_min(x)=g(3)=10+m²－8m≥0.解得m≥4+或m≤4－.而m≥3,
∴m≥4＋.        ----12分綜上，實數m的取值范圍是 (－∞，)∪[4+，+∞].

解析