Question

（2011•藍山縣模擬）已知點列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^?）順次為拋物線y=

1

4

x²上的點，過點B_n（n，b_n）作拋物線y=

1

4

x²的切線交x軸于點A_n（a_n，0），點C_n（c_n，0）在x軸上，且點A_n，B_n，C_n構成以點B_n為頂點的等腰三角形．
（1）求數列{a_n}，{c_n}的通項公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，若有，請求出n；若沒有，請說明理由．
（3）設數列{

1

an•( 3 2 +cn)

}的前n項和為S_n，求證：

2

3

≤S_n＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）利用導數，求得點B_n（n，b_n）作拋物線y=

1

4

x2的切線方程，令y=0，可得a_n=

n

2

，根據點A_n，B_n，C_n構成以點B_n為頂點的等腰三角形，可得a_n+c_n=2n，由此可求數列{a_n}，{c_n}的通項公式；
（2）若等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，則|A_nC_n|=2b_n，由此可知存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂為直角三角形；
（3）

1

an•( 3 2 +cn)

=

1

n 2 ( 3 2 + 3n 2 )

=

1

3 4 n(n+1)

=

4

3

（

1

n

-

1

n+1

），從而可求S_n=

4

3

（1-

1

n+1

），進而可知

2

3

≤S_n＜

4

3

．

解答：（1）解：∵y=

1

4

x²，∴y′=

x

2

，y′|_x=n=

n

2

，
∴點B_n（n，b_n）作拋物線y=

1

4

x2的切線方程為：y-

n2

4

=

n

2

（x-n），
令y=0，則x=

n

2

，即a_n=

n

2

；（3分）
∵點A_n，B_n，C_n構成以點B_n為頂點的等腰三角形，
∴a_n+c_n=2n，∴c_n=2n-a_n=

3n

2

  （5分）
（2）解：若等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，則|A_nC_n|=2b_n?
∴n=

n2

2

，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂為直角三角形   （9分）
（3）證明：∵

1

an•( 3 2 +cn)

=

1

n 2 ( 3 2 + 3n 2 )

=

1

3 4 n(n+1)

=

4

3

（

1

n

-

1

n+1

）（11分）
∴S_n=

4

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

4

3

（1-

1

n+1

）＜

4

3

又1-

1

n+1

隨n的增大而增大，
∴當n=1時，S_n的最小值為：

4

3

（1-

1

1+1

）=

2

3

，
∴

2

3

≤S_n＜

4

3

（14分）

點評：本題考查導數的幾何意義，考查裂項法求數列的和，考查不等式的證明，考查數列與解析幾何的綜合，屬于中檔題．