Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的正方形，平面平面，且.

（1）證明：平面平面；

（2）當，且與平面所成角的正切值為時，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

(1)由已知條件和面面垂直性質定理可以證得平面，有，再運用面面垂直的判定定理證明平面平面

(2)以為坐標原點，的方向為軸正方向建立直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，運用公式求出二面角夾角的余弦值，繼而求出正弦值

（1）由題設知，平面平面，交線為.

因為，平面，所以平面，

因此，又，，所以平面.

而平面，所以平面平面.

（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的直角坐標系，

則有，

過點作于，設，則.

因為，所以，，

由題設可得，即，

解得或，

因為，所以，所以，.

由，知是平面的法向量，

，.

設平面的法向量為，

則取得，

設二面角為，

則，

因為，

.

綜上，二面角的正弦值為.