Question

（2010•江西模擬）三棱錐P-ABC的高|PO|=2

2

，底面邊長分別為3，4，5，Q點(diǎn)在底邊上，且斜高PQ的數(shù)值為3，這樣的Q點(diǎn)最多有（　　）

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：先證明底面三角形為直角三角形，且內(nèi)切圓半徑為1，再證明點(diǎn)P與三個(gè)切點(diǎn)的連線即為側(cè)面斜高，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算三個(gè)斜高均為3，即符合條件的點(diǎn)Q恰為這三個(gè)切點(diǎn)

解答：解：如圖∵|AC|=3，|BC|=4，|AB|=5
∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°
設(shè)此三角形的內(nèi)切圓半徑為r，
則由△ACB的面積等于△OAB，△OAC，△OBC的面積之和得

1

2

×3×4=

1

2

(3+4+5)×r
∴r=1
設(shè)切點(diǎn)為D、E、F
則由三垂線定理知：PD、PE、PF分別為三棱錐三個(gè)側(cè)面的斜高
∵在直角三角形POD中，|PO|=2

2

，|OD|=1
∴|PD|=

12+2 2 2

=3
同理|PE|=3，|PF|=3
∴Q點(diǎn)在底邊上，且斜高PQ的數(shù)值為3，這樣的Q點(diǎn)最多有3個(gè)，分別位于D、E、F的位置
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直角三角形的特殊性質(zhì)，椎體的高與斜高的關(guān)系和計(jì)算方法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法