Question

給出下列五個命題：
①函數f(x)=

x+2

x+1

的圖象的對稱中心是點（1，1）；②函數y=sinx在第一象限內是增函數；③已知a，b，m均是負數，且a＞b，則

a+m

b+m

＞

a

b

；④若直線l∥平面α，直線l⊥直線m，直線m?平面β，則β⊥α；⑤當橢圓的離心率e越接近于0時，這個橢圓的形狀就越接近于圓．其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①將函數分離常數，利用圖象變換可得其對稱中心；②舉反例即可否定此選項，例如舉

π

3

，

13π

6

都是第一象限角；③利用作差比較法證明其正確；④在正方體中尋找反例即可否定此結論；⑤由橢圓離心率的定義e=

c

a

，推導出當橢圓的離心率e越接近于0時，橢圓長軸2a就越接近于短軸2b，橢圓的形狀就越接近于圓

解答：解：∵f(x)=

x+2

x+1

=

1

x+1

+1，∴圖象為y=

1

x

圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，∴對稱中心是（-1，1）
∴①錯誤

π

3

，

13π

6

都是第一象限角，且

π

3

＜

13π

6

，但sin

π

3

＞sin

13π

6

，∴不能說函數y=sinx在第一象限內是增函數．
∴②錯誤
∵

a+m

b+m

-

a

b

=

ab+bm-ab-am

b(b+m)

=

m(b-a)

b(b+m)

，∵，b，m均是負數，且a＞b，∴

a+m

b+m

-

a

b

＞0∴

a+m

b+m

＞

a

b

∴③正確
例如在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥平面A₁C₁，AC⊥BD，BD⊆平面BDC₁，但平面A₁C₁與平面BDC₁并不垂直
∴④錯誤
e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，當e越接近于0時，

b2

a2

就越接近1，a就越接近b，橢圓的形狀就越接近于圓，
∴⑤正確
故答案為③⑤

點評：本題通過多選的形式，考查了三角函數，圖象變換，不等式證明，空間線面關系，橢圓等基礎知識，屬于基礎題