Question

（2010•上海模擬）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值為M，最小值為m，給出下列五個命題：
①若對任何x∈[a，b]都有p≤f（x），則p的取值范圍是（-∞，m]；
②若對任何x∈[a，b]都有p≤f（x），則p的取值范圍是（-∞，M]；
③若關于x的方程p=f（x）在區間[a，b]上有解，則p的取值范圍是[m，M]；
④若關于x的不等式p≤f（x）在區間[a，b]上有解，則p的取值范圍是（-∞，m]；
⑤若關于x的不等式p≤f（x）在區間[a，b]上有解，則p的取值范圍是（-∞，M]；
其中正確命題的個數為（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：這是一個對不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念題．對各個選項分別加以判斷，發現在①②中，得出①正確②錯誤，④⑤中得出⑤正確④錯誤，而不難發現③是一個真命題，由此可得正確答案．

解答：解：對任何x∈[a，b]都有p≤f（x），說明p≤f（x）的最小值，
結合題意知p≤m，①是正確的；
由于①正確，所以②是一個錯誤的理解，就不正確了；
關于x的方程p=f（x）在區間[a，b]上有解，
說明p應屬于函數f（x）在[a，b]上的值域[m，M]內，故③是正確的；
關于x的不等式p≤f（x）在區間[a，b]上有解，說明p小于或等于的最大值，
所以④是錯誤的，而⑤是正確的
正確的選項應該為①③⑤
故選B

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，屬于基礎題．不等式或方程解集非空，只要考慮有解；而不等式恒成立說明解集是一切實數，往往要考慮函數的最值了．