Question

如圖一圓錐形容器，底面圓的直徑等于圓錐母線長，水以每分鐘9.3升的速度注入容器內，則注入水的高度在t=

1

27

分鐘時的瞬時變化率（　　）（注：π≈3.1）

• A、27分米/分鐘
• B、9分米/分鐘
• C、81分米/分鐘
• D、9

  9

  分米/分鐘

Answer 1

分析：圓錐的軸截面是個等邊三角形，設經過t分鐘的水面高度為h，求出水面的半徑，用t和h表示經過t分鐘圓錐形容器內水的體積，解出 h，并求出它的導數，t=

1

27

 時的導數值，就是注入水的高度在t=

1

27

分鐘時的瞬時變化率．

解答：解：由題意知，圓錐的軸截面是個等邊三角形，經過t分鐘的水面高度為h，
則水面的半徑是

3

3

h，t分鐘時，圓錐形容器內水的體積為 9.3t=

1

3

π•(

3 h

3

)2•h，
∴h³=

9×9.3t

π

=27t，
∴h=3 t

1

3

，
∴h′=t

-2

3

，t=

1

27

 時，
h′=(

1

27

)

-2

3

=3²=9，
故選 B．

點評：本題考查圓錐的體積公式的應用，函數的導數的求法及導數的意義，函數在某點的導數，就是函數在該點的變化率．