Question

已知動圓過定點P(1,0),且與定直線l:x=-1相切，點C在l上.

(1)求動圓圓心的軌跡M的方程；

(2)設過點P，且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點.

①△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，請說明理由.

②當△ABC為鈍角三角形，求這時點C的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設M(x,y),依題意知|MP|=|MN|,

    則|x+1|=,化簡得y²=4x.

(2)①由題意知直線AB的方程為y=-(x-1).

    由消去y得3x²-10x+3=0.解得x₁=,x₂=3.

    所以A點的坐標為(,),B點的坐標為(3,-2),

|AB|=|x₁-x₂|=2×(3-)=.

    假設存在點C(-1,y),使△ABC為正三角形，

    則|BC|=|AB|,|AC|=|AB|，

    即

（1）-（2）解得y=-.但y=-,不符合①,

    故（1）（2）組成的方程組無解，因此l上不存在點C使△ABC為正三角形.

②設C(-1,y)使△ABC為鈍角三角形，

    由得y=2.

    即當點C(-1,2)時，A、B、C三點共線.

    故y≠2.

    又|AC|²=(1+)²+(y-)²=y²-,

|BC|²=(3+1)²+(y+2)²=y²+4y+28,|AB|²=()²=.

    當∠CAB為鈍角時，

cosA=＜0,

    即|BC|²＞|AC|²+|AB|²,28+4y+y²＞y+y²+.

    解得y＞時，∠CAB為鈍角.

    同理,由|AC|²＞|BC|²+|AB|²,

    即+y²＞28+4y+y²+.

    解得y＜-時，∠CBA為鈍角.

    由|AB|²＞|AC|²+|BC|²,

    即＞y+y²+28+4y+y²,

    即(y+)²＜0無解.

    故∠ACB不可能為鈍角.

    綜上，y＞或y＜-,且y≠2.