Question

已知動圓過定點P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點C在l上.

(1)求動圓圓心的軌跡M的方程;

(2)設過點P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點.

①問:△ABC能否為正三角形?若能,求出點C的坐標;若不能,請說明理由.

②當△ABC為鈍角三角形時,求這種點C的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

解:設M(x,y),依題意有|MP|=|MN|,

所以|x+1|=.

化簡得y²=4x.

(2)①由題意得,

直線AB的方程為y=-(x-1).

由消去y,得3x²-10x+3=0.

解得 x₁=,x₂=3.

所以A點坐標為(,),B點坐標為(3,-2),|AB|=x₁+x₂+2=.

假設存在點C(-1,y),使△ABC為正三角形,

則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,

即

由1°-2°整理得4²+(y+2)²=()²+(y-)².

解得y=-.但y=-不符合1°.

所以由1°、2°組成的方程組無解.

因此,直線l上不存在點C,使得△ABC是正三角形.

(2)以AB為直徑的圓的方程為(x-)²+(y+)²=()².

圓心(,-)到直線l:x=-1的距離為,

所以以AB為直徑的圓與直線l相切于點G(-1,-).

當直線l上的C點與G重合時,∠ACB為直角,當C與G點不重合,且A、B、C三點不共線時,∠ACB為銳角,即△ABC中,∠ACB不可能是鈍角.

因此,要使△ABC為鈍角三角形,只可能是∠CAB和∠CBA為鈍角.

過點A且與AB垂直的直線方程為

y-=(x-).

令x=-1,得y=.

過點B且與AB垂直的直線方程為y+2=(x-3).

令x=-1,得y=-.

又由

解得y=2.

所以當點C的坐標為(-1,2)時,A、B、C三點共線,不構成三角形.

因此,當△ABC為鈍角三角形時,

點C的縱坐標y的取值范圍是y＜-或y＞(y≠2).