Question

【題目】已知向量 =（ex ， lnx+k）， =（1，f（x））， ∥ （k為常數，e是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，F（x）=xexf′（x）．
（1）求k的值及F（x）的單調區間；
（2）已知函數g（x）=﹣x2+2ax（a為正實數），若對任意x2∈[0，1]，總存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：f（x）= ，

∴ ，

由已知， ，

∴k=1

∴F（x）=xexf'（x）= ，

所以F'（x）=﹣lnx﹣2

由 ，

由

∴F（x）的增區間為 ，減區間為

（2）解：∵對于任意x2∈[0，1]，總存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），

∴g（x）max＜F（x）max…（6分）

由（I）知，當 時，F（x）取得最大值 ．

對于g（x）=﹣x2+2ax，其對稱軸為x=a

當0＜a≤1時， ，

∴ ，從而0＜a≤1

當a＞1時，g（x）max=g（1）=2a﹣1，

∴ ，從而

綜上可知：

【解析】（1）利用向量平行的條件求出函數y=f（x），再求出此函數的導函數，函數在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f′（1）=0，則k值可求；從而得出F（x）的解析式，求出函數F（x）的定義域，然后讓導函數等于0求出極值點，借助于導函數在各區間內的符號求函數F（x）的單調區間．（2）對于任意x2∈[0，1]，總存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），等價于g（x）max＜F（x）max ， 再求得F（x）取得最大值；利用二次函數的圖象，對a進行分類討論，得出g（x）在[0，1]上的最大值，由g（x）在[0，1]上的最大值小于F（x）max得a的范圍，結合分類時a的范圍得a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．