Question

如圖，森林的邊界是直線L，兔子和狼分別在L的垂線AC上的點A和點B處（AB=BC=a），現兔子沿線AD（或AE）以速度2v準備越過L向森林逃跑，同時狼沿線段BM（點M在AD上）或BN（點N在AE上）以速度v進行追擊，若狼比兔子先到或同時到達點M（或N）處，狼就會吃掉兔子．求兔子的所有不幸點（即可能被狼吃掉的地方）組成的區域的面積S．

Answer 1

分析：由題意，建立下面直角坐標系x0y，并設M（x，y），由于狼要吃掉兔子需先到達M點或與兔子同時到達M點，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

，由此不等式得出2|BM|≤|AM|，用兩點間距離公式將此不等式用坐標表示出來，整理出方程，由此方程作出判斷，求出兔子的所有不幸點（即可能被狼吃掉的地方）組成的區域的面積S．

解答：解：如圖所示，建立平面直角坐標系x0y，并設M（x，y）．
狼要吃掉兔子需先到達M點或與兔子同時到達M點，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

．…（4分）
即2|BM|≤|AM|
∴2

x2+(y-a)2

≤

x2+(y-2a)2

兩邊平方，整理得：3x²+3y²-4ay≤0
即：x2+(y-

2

3

a)2≤(

2

3

a)2…（8分）
所以，兔子的所有不幸點構成的區域為圓及其內部．∴S=π•(

2

3

a)2=

4

9

πa2
所以，兔子的所有不幸點組成的區域的面積S為

4

9

πa2．…（10分）

點評：本題考查求軌跡方程，由于題設條件比較抽象，解答本題，關鍵是建立起合適的模型，表示出實際問題中的關系，再通過所建立的模型求解兔子的所有不幸點（即可能被狼吃掉的地方）組成的區域的面積S，本題考查了以形助數能力及轉化化歸的能力，這是解應用題時常用的策略．