Question

如圖，森林的邊界是直線L，兔子和狼分別在L的垂線AC上的點A和點B處（AB=BC=a），現兔子沿線AD（或AE）以速度2v準備越過L向森林逃跑，同時狼沿線段BM（點M在AD上）或BN（點N在AE上）以速度v進行追擊，若狼比兔子先到或同時到達點M（或N）處，狼就會吃掉兔子．求
（1）兔子的所有不幸點（即可能被狼吃掉的地方）組成的區域的面積S；
（2）兔子要想不被狼吃掉，求銳角θ（θ=∠CAD=∠CAE）應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐標系xcy，利用條件：狼要吃掉兔子需先到達M點或與兔子同時到達M點，建立關系式，從而求出兔子的所有不幸點（即可能被狼吃掉的地方）組成的區域的方程，進而求出區域的面積S；
（2）兔子要想不被狼吃掉則不能沿∠GAF的方向跑，故可求出銳角θ（θ=∠CAD=∠CAE）應滿足的條件．

解答：解：（1）如圖所示，建立平面直角坐標系xcy，并設M（x，y）．
狼要吃掉兔子需先到達M點或與兔子同時到達M點，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

．…4分
即2|BM|≤|AM|∴2

x2+(y-a)2

≤

x2+(y-2a)2

兩邊平方，整理得：3x²+3y²-4ay≤0
即：x2+(y-

2

3

a)2≤(

2

3

a)2…6分
所以，兔子的所有不幸點構成的區域為圓及其內部．∴S=π•(

2

3

a)2=

4

9

πa2
所以，兔子的所有不幸點組成的區域的面積S為

4

9

πa2．…8分
（2）如圖，兔子要想不被狼吃掉則不能沿∠GAF的方向跑．
在Rt△APF中：sin∠PAF=

|PF|

|AP|

=

2 3 a

2a- 2 3 a

=

1

2

∴∠PAF=

π

6

∴θ∈(

π

6

，

π

2

)
所以銳角θ（θ=∠CAD=∠CAE）應滿足的條件為θ∈(

π

6

，

π

2

)．…12分

點評：本題通過建立平面直角坐標系，假設坐標，用方程表示曲線，利用方程解決問題，同時應注意挖掘問題的本質，將問題等價轉化．