Question

已知f（x）為奇函數，且在（0，+∞）上是遞增的，若f（-2）=0，則xf（x）＜0的解集是（　　）

• A、{x|-2＜x＜0或x＞2}
• B、{ x|x＜-2或0＜x＜2}
• C、{ x|x＜-2或x＞2}
• D、{ x|-2＜x＜0或0＜x＜2}

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：易判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性及f（x）圖象所過特殊點，作出f（x）的草圖，根據圖象可解不等式．

解答： 解：∵f（x）在R上是奇函數，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數，
由f（-2）=0，得f（-2）=-f（2）=0，
即f（2）=0，
由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草圖，如圖所示：
由圖象，得xf（x）＜0?

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
解得0＜x＜2或-2＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集為：（-2，0）∪（0，2），
故選：D

點評：本題考查函數奇偶性、單調性的綜合應用，考查數形結合思想，靈活作出函數的草圖是解題關鍵．