Question

已知函數f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

（a＞0且a≠1）
（1）求函數f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關于x的方程f（x）=log_a

1

x

．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,函數解析式的求解及常用方法,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）化簡f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

=log_a

x2-1+1

1-(x2-1)

，從而得f(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1），再判斷f（-x）與f（x）的關系即可；
（2）方程f（x）=log_a

1

x

可化為

1+x

1-x

•x=1；從而解得．

解答： 解：（1）∵f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

=log_a

x2-1+1

1-(x2-1)

，
∴f(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1），
又∵f（-x）+f(x)=loga

1+x

1-x

+log_a

1-x

1+x

=0；
則f（x）是奇函數；
（2）方程f（x）=log_a

1

x

可化為

1+x

1-x

•x=1；
解得，x=

2

-1．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與應用，同時考查了方程的解法，屬于基礎題．