Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，左右焦點分別為和，且橢圓經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的右頂點作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點（均異于點），求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）利用橢圓的定義求得，根據焦點求得，結合求得，由此得到橢圓的標準方程.（2）當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出判別式及韋達定理，利用列出方程，并由此化簡直線方程，得到直線所過定點.當直線斜率不存在時，根據橢圓的對稱性，證得直線過定點.

（1）設橢圓的標準方程為

，

∴

∴

∴

所以，橢圓的標準方程為.

（2）①直線斜率存在，設直線：，，，聯立方程

消去得，

，，

，

又 ，

由得，

即，，∴，

∴，

∴.解得：

，，且均滿足，

當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾；

當時，直線的方程為，直線過定點.

②由橢圓的對稱性所得，當直線，的傾斜角分別為，，易得直線：，

：，直線，分別與橢圓交于點，，此時直線斜率不存在，

也過定點

綜上所述，直線恒過定點