Question

【題目】設定義在（0，+∞）上的函數 f（x），對于任意正實數 a、b，都有 f（ab）＝f（a）+f（b）﹣1，f（2）＝0，且當 x＞1 時，f（x）＜1．

（1）求 f（1）及的值；

（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

【答案】（1）f（）＝2；（2）見解析

【解析】

（1）可令a＝b＝1，解得f（1）＝1，再根據f（2×）＝f（2）+f（）求解f（）即可

（2）可設0＜x1＜x2，可得＞1，將f（x2）表示成f（x1），再結合f（ab）＝f（a）+f（b）﹣1的性質進行判斷即可

（1）令a＝b＝1得f（1）＝f（1）+f（1）﹣1，得f（1）＝1，∵f（2）＝0，

∴f（2×）＝f（2）+f（）﹣1＝f（1），

則0+f（）﹣1＝1，得f（）＝2；

（2）證明：設0＜x1＜x2，可得＞1，可得f（）＜1，

由f（x2）＝f（x1）＝f（x1）+f（）﹣1＜f（x1），

可得函數f（x）在（0，+∞）上是減函數．