Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)都相等，A₁在底面ABC上的射影O為△ABC的中心，則異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：先確定∠A₁AB=60°，作延長(zhǎng)A₁B₁到D₁使得B1D1

∥ .

.

AB，則AB₁∥BD₁，所以∠C₁BD₁為異面直線AB₁與BC₁所成角，求出BC₁，由余弦定理可得異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值．

解答： 解：設(shè)邊長(zhǎng)為1，cos∠A1AB=cos∠A1AOcos∠OAB=

3

3

×

3

2

=

1

2

，
所以∠A₁AB=60°
作延長(zhǎng)A₁B₁到D₁使得B1D1

∥ .

.

AB，則AB₁∥BD₁，所以∠C₁BD₁為異面直線AB₁與BC₁所成角．
由余弦定理可得AB1=BD1=

3

，C1D1=

3

因?yàn)锽C⊥AO，所以BC⊥AA₁（三垂線定理），
又因?yàn)锽B₁∥AA₁，所以四邊形BB₁C₁C為正方形，則BC1=

2

．
由余弦定理可得cos∠C1BD1=

BC12+BD12-C1D12

2BC1•BD1

=

3+2-3

2 3 • 2

=

6

6

．
故答案為：

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線線角的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力，屬于中檔題．