Question

【題目】設圓滿足：（1）截軸所得弦長為2；（2）被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為.在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，圓心到直線的距離最小的圓的方程為__________.

Answer 1

【答案】或

【解析】設圓的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|．

由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，知圓P截X軸所得的弦長為，故r2=2b2，又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2+1．

從而得2b2﹣a2=1．又點P（a，b）到直線x﹣2y=0的距離為，

所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，

當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d2=1，從而d取得最小值．

由此有，解此方程組得或由于r2=2b2知．

于是，所求圓的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．

解法二：同解法一，得

∴，得①

將a2=2b2﹣1代入①式，整理得②

把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即

△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，從而d有最小值．

將其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．

將b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．

綜上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同號．

于是，所求圓的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．