Question

【題目】已知橢圓的右頂點為，點在橢圓上，為坐標原點，且，則橢圓的離心率的取值范圍為

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

將原問題轉化為橢圓與圓相交的問題，然后聯立方程結合圖形整理計算即可求得最終結果.

∵∠APO=90°，∴點P在以AO為直徑的圓上，

∵O(0,0),A(a,0)，

∴以AO為直徑的圓方程為,即x2+y2ax=0，

由消去y,得(b2a2)x2+a3xa2b2=0.

設P(m,n)，

∵P、A是橢圓與x2+y2ax=0兩個不同的公共點，

∴,可得.

∵由圖形得0<m<a,∴，

即b2<a2b2,可得a2c2<c2,得a2<2c2，

∴,解得橢圓離心率，

又∵e∈(0,1)，

∴橢圓的離心率e的取值范圍為.

本題選擇B選項.