Question

已知橢圓的離心率為，F為橢圓在x軸正半軸上的焦點，M、N兩點在橢圓C上，且，定點A（－4，0）.
（1）求證：當時.，；
（2）若當時有，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，當M、N兩點在橢圓C運動時，當 的值為6時, 求出直線MN的方程.

Answer 1

（1）見解析
（2）橢圓C的方程為
（3）直線的MN方程為，或。

（1）設，
則，
當時，，
由M，N兩點在橢圓上，
若，則（舍去），  （4分）
 。（5分）
（2）當時，不妨設 （6分）
又，，（8分）
橢圓C的方程為。 （9分）
（3）因為=6, （10分）
由(2)知點F(2,0), 所以|AF|="6, " 即得|y_M-y_N|= （11分）
當MN⊥x軸時, |y_M-y_N|=|MN|=, 故直線MN的斜率存在, （12分）
不妨設直線MN的方程為
聯立，得，
=, 解得k=±1。
此時，直線的MN方程為，或。 （14分）