Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓： 和圓： .

（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）設為平面直角坐標系上的點，滿足：存在過點的無窮多對相互垂直的直線和，它們分別與圓和相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為或；（2）點的坐標為或.

【解析】試題分析：（1）因為直線過點,故可以設出直線的點斜式方程，又由直線被圓截得的弦長為根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理,我們可以求出弦心距, 即圓心到直線的距離,得到一個關于直線斜率的方程, 解方程求出值, 代入即得直線的方程；（2）與（1）相同，我們可以設出過點的直線與的點斜式方程,由于兩直線斜率為,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,故我們可以得到一個關于直線斜率的方程,解方程求出值,代入即得直線與的方程．

試題解析：（1）由于直線與圓不相交；

∴直線的斜率存在，設方程為： ，

圓的圓心到直線的距離為，∵被截得的弦長為，

∴從而即，

∴直線的方程為：

（2）設點滿足條件，

由題意分析可得直線的斜率均存在且不為0，

不妨設直線的方程為，

則直線的方程為： ，

∵和的半徑相等，及直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，

∴的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，

即，

整理得，

∴，

即或，

因的取值有無窮多個，所以或，

解得或這樣的點只可能是點或點．