Question

已知點P（-3，0），點A在y軸上，點Q在x軸非負半軸上，點M在直線AQ上，滿足·=0，=-.

（1）當點A在y軸上移動時，求動點M的軌跡C的方程；

（2）設軌跡C的準線為l,焦點為F，過F作直線m交軌跡C于G，H兩點，過點G作平行于軌跡C的對稱軸的直線n,且n∩l=E，試問點E，O，H（O為坐標原點）是否在同一條直線上？并說明理由.

Answer 1

（1）M點的軌跡方程為y²=4x，（2）O，E，H三點共線

解析:

（1）設M（x,y）為軌跡上任意一點，

A（0,b）,Q(a,0)(a≥0),

則=（x,y-b），=(a-x,-y),

∵=-，

∴（x，y-b）=-（a-x，-y），

∴，從而.

∴A，且=, =.

∵·=0，

∴·=0，即3x-y²=0,

∴y²=4x,故M點的軌跡方程為y²=4x.

(2)軌跡C的焦點為F（1，0），準線為l:x=-1,對稱軸為x軸.設直線m的方程為y=k(x-1)(k≠0),

由ky²-4y-4k=0,

設G（x₁,y₁）,H(x₂,y₂),

則由根與系數的關系得，y₁y₂=-4,

又由已知=（-1，y₁),=,

∴(-1)×y₂-y₁×=-y₂-·y₂=-y₂+y₂=0,

∴∥,故O，E，H三點共線.