Question

【題目】已知實數a＞0， 方程 有且僅有兩個不等實根，且較大的實根大于3，則實數a的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設比較大的根為x1 ， 則x1＞3， 此時由 =log3x＞log33=1，
即a ，即a ．
∵方程 有且僅有兩個不等實根，
∴當x≤1時，方程 有且僅有1實根，
即﹣x ，在x≤1時，只有一個根．
∴x ，
設g（x）=x ，（x≤1），
函數的對稱軸為x=a，
若a≥1，
∵g（0）= ，
∴此時滿足g（1）≤0，（圖1）

即g（1）=1﹣2a+ ≤0，
∴7a2﹣32a+16≤0，
解得 ，∴此時1≤a≤4，．
若0＜a＜1，
∵g（0）= ，
∴此時滿足g（1）＜0，
即g（1）=1﹣2a+ ＜0，
∴77a2﹣32a+16＜0，
解得 ，∴此時 ，
∴ ，
又a ，
∴ ，
即實數a的取值范圍是 ，
所以答案是： ．

【考點精析】關于本題考查的函數的零點與方程根的關系和函數的零點，需要了解二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能得出正確答案．