Question

【題目】設函數， .

（1） 關于的方程在區間上有解,求的取值范圍；

（2） 當時， 恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的取值范圍為；(2) 的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）方程在一個區間上有解，可以轉化為有解，研究該函數的單調性和圖像使得常函數和該函數有交點即可。（2）該題可以轉化為當時， 恒成立，令研究這個函數的單調性和最值即可。

（1）方程即為

令

則．

∴當時， 隨變化情況如下表：

	1				3
		+	0	-
		↗	極大值	↘

∵， ， ，

∴當時， ，

∴的取值范圍為

（2）依題意，當時， 恒成立

令,

則

令,則當時， ，

∴函數在上遞增，∵, ，

∴存在唯一的零點，

且當時， ，當時， ，

則當時， ，當時， .

∴在上遞減，在上遞增，從而.

由得，兩邊取對數得，

∴，∴，∴

即實數的取值范圍為.